문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 라플라스 방정식 (문단 편집) === 변수분리법 === 변수분리법은 구하려는 함수가 각각 단일변수 함수의 곱으로 나타난다고 가정하고 푸는데, 대개의 경우 [math(u_1, u_2, \cdots, u_m, \cdots)] 식으로 자연수 개수만큼의 해가 나오게 된다. 일반해를 찾고 싶으면 이 해들을 선형결합해 [math( \sum u_i c_i = f)] 꼴을 생각하고, 경계조건이 주어진 문제를 풀고 싶으면 경계조건을 저 선형결합으로 나타내면 (즉 [math( \sum u_i c_i|_{\partial M} = g)]를 풀면) 된다. 많은 경우에 이들 함수는 [math(L^2(\partial M))] 공간의 직교기저를 이루는데, 사실 이는 우연의 일치가 아니고 위의 스펙트럼 이론에 따른 결과이다. --즉 그냥 갖다 쓰면 된다.-- 아래의 경우 다음처럼 주어지는 라플라시안의 다른 좌표계 표현을 잘 활용하자. * 직교좌표계: 영역이 [[다포체]][* [[직사각형]], [[직육면체]] 등.](끝이 있거나 없는)일 때. [[쌍곡선함수]]와 [[삼각함수]]의 조합으로 나타난다. [math(\displaystyle \nabla^2 f = \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial^2 f}{\partial x_i^2} )] * 2차원 극좌표계: 영역이 원형일 때. 역시 삼각함수와 지수함수의 조합이지만 직교좌표계로 변환하면 2변수 조화다항식[* [math((x+iy)^n)]의 전개에서 나온다]을 얻는다. [math(\displaystyle \nabla^2 f = \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r\frac{\partial f}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2f}{\partial \theta^2})] * 3차원 원통좌표계: 영역이 원통일 때. [[베셀 함수]]가 나타난다. [math(\displaystyle \nabla^2 f = \frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial \rho}\left(\rho\frac{\partial f}{\partial \rho}\right)+\frac{1}{\rho^2}\frac{\partial^2f}{\partial \phi^2}+\frac{\partial^2f}{\partial z^2})] * 3차원 구면좌표계: 영역이 구일 때. [[르장드르 다항식]] 혹은 동일하게 [[구면 조화 함수]]가 나온다. [math(\displaystyle \nabla^2 f=\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\frac{\partial f}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta\frac{\partial f}{\partial\theta}\right)+\frac{1}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial^2 f}{\partial\phi^2})]저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기